Pigeonhole Principle and Peluang Diskrit

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Matematika diskrit adalah salah satu ilmu yang memiliki banyak kegunaan dalam berbagai bidang ilmu lainnya. Matematika diskrit merupakan cabang matematika yang mempelajari tentang obyek-obyek diskrit. Diskrit itu sendiri adalah sejumlah berhingga elemen yang berbeda atau elemen-elemen yang tidak bersambungan. Dimana data diskrit merupakan data yang satuannya selalu bulat dalam bilangan asli dan tidak berbentuk pecahan. Contoh dari data diskrit misalnya manusia, pohon, bola dan lain-lain. Berikut ini adalah beberapa alasan pentingnya mempelajari matematika diskrit antara lain :

1. Landasan berbagai bidang ilmu matematika : logika, teori bilangan, aljabar linier dan                      abstrak,kombinatorial, teori graft, teori peluang (diskrit).

2. Landasan ilmu komputer : struktur data, algoritma, teori database, bahasa formal, teori automata, teori compiler, sistem operasi, dan pengamanan komputer (computer security).

3. Mempelajari latar belakang matematis yang diperlukan untuk memecahkan masalah dalam riset operasi (optimasi diskrit), kimia, ilmu-ilmu teknik, biologi, telekomunikasi, dan sebagainya.

Dari alasan-alasan di atas, jelaslah bahwa matematika diskrit memiliki jangkauan yang luas dalam berbagai bidang ilmu. Dalam makalah ini akan dibahas secara terperinci mengenai prinsip sarang merpati dan peluang diskrit. Pada umumnya prinsip Pigeonhole merupakan salah satu teknik pembuktian yang sederhana dan efektif. Selain itu, prinsip ini merupakan salah satu alat kombinatorial yang berguna dalam menghitung objek dengan properti tertentu. Sedangkan antara kombinatorial dan teori peluang sebenarnya terkait erat. Peluang didasarkan pada suatu percobaan seperti pelemparan uang logam, pelemparan dadu, penarikan kartu dan lain-lain.

1.2 Rumusan Masalah

1.        Bagaimanakah prinsip sarang merpati ?

2.        Bagaimanakah peluang diskrit ?

1.3 Tujuan

1.       Untuk mengetahui prinsip sarang burung merpati.

2.       Untuk mengetahui peluang diskrit.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1  Prinsip Sarang Merpati

Pigeonhole Principle atau Prinsip Sarang Merpati pertama kali dinyatakan oleh seorang ahli matematika dari Jerman yang bernama Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet pada tahun 1834, sehingga prinsip ini juga dikenal dengan istilah Prinsip Kotak Dirichlet (Dirichlet Drawer Principle), karena Dirichlet sering menggunakan prinsip ini dalam pekerjaannya.

Misalkan kita mempunyai kandang burung merpati (pigeon) yang memiliki pintu masuk berupa lubang-lubang (hole). Satu lubang berarti satu sarang. Setiap sarang biasanya ditempati oleh seekor burung merpati. Misalkan merpati ada 16 ekor sedangkan kandang hanya 14 buah sarang. Prinsip sarang merpati (pigeonhole principle) menyatakan bahwa paling sedikit terdapat satu sarang yang ditempati oleh dua ekor merpati.

Teorema I :

Prinsip Sarang Merpati (Pigeon Hole Principle) menyatakan jika (n + 1) atau lebih objek ditempatkan di dalam n buah kotak, maka paling sedikit terdapat satu kotak yang berisi dua atau lebih objek. Atau jika ada n sarang dan (n + 1) merpati, maka paling tidak ada 1 sarang yang ditempati lebih dari 1 merpati.

Bukti :

Misalkan tidak ada kotak yang berisi lebih dari dua objek. Maka, total jumlah objek paling banyak adalah n. Ini kontradiksi, karena jumlah objek paling sedikit n + 1.

Contoh 1

Dari 27 orang mahasiswa, paling sedikit terdapat dua orang yang namanya diawali dengan huruf yang sama, karena hanya ada 26 huruf dalam alfabet. Jika kita menganggap 27 huruf awal dari nama-nama mahasiswa sebagai merpati dan  26 huruf alfabet sebagai 26 buah lubang merpati, kita bisa menetapkan pemasangan 27 huruf awal nama ke 26 huruf alfabet seperti halnya pemasangan merpati ke sarang merpati. Menurut prinsip sarang merpati, beberapa huruf awal alfabet dipasangkan dengan paling sedikit dua huruf awal nama mahasiswa.

Contoh 2

Pada saat pembentukan tugas kelompok yang dibagi menjadi enam kelompok, tujuh mahasiswa tidak masuk kuliah sehingga mereka belum terdaftar dalam kelompok yang sudah dibagi. Tunjukkan bahwa paling sedikit ada dua mahasiswa yang bergabung dalam satu kelompok !

Penyelesaian :

Kita asumsikan tujuh mahasiswa tersebut dengan merpati dan enam kelompok sebagai rsarang merpati. Berdasarkan prinsip pigeonhole bentuk pertama terdapat sarang merpati yang memuat paling sedikit dua merpati. Dengan demikian terdapat suatu kelompok yang memuat paling sedikit dua mahasiswa.

Contoh 3

Misalkan terdapat banyak bola merah, bola putih, dan bola biru di dalam sebuah kotak. Berapa paling sedikit jumlah bola yang diambil dari kotak (tanpa melihat ke dalam kotak) untuk menjamin bahwa sepasang bola yang berwarna sama terambil?

Penyelesaian:

Jika setiap warna dianggap sebagai sarang merpati, maka n = 3. Karena itu, jika orang yang mengambil paling sedikit n + 1 = 4 bola (merpati), maka dapat dipastikan sepasang bola yang berwarna sama ikut terambil. Jika hanya diambil 3 buah, maka ada kemungkinan ketiga bola itu berbeda warna satu sama lain. Jadi, 4 buah bola adalah jumlah minimum yang harus diambil dari dalam kotak untuk menjamin terambil sepasang bola yang berwarna sama.

Contoh 4
Misalkan sebuah turnamen basket diikuti oleh n buah tim yang dalam hal ini setiap tim bertanding dengan setiap tim lainnya dan setiap tim menang paling sedikit satu kali. Tunjukkan bahwa paling sedikit ada 2 tim yang mempunyai jumlah kemenangan yang sama !

Penyelesaian :

Jumlah kemenangan setiap tim paling sedikit 1 kali dan paling banyak n - 1 kali. Angka n - 1 berkorespondensi dengan n - 1 buah sarang merpati untuk menampung n ekor merpati (tim basket). Jadi, paling sedikit ada 2 tim basket yang mempunyai jumlah kemenangan sama.

Prinsip sarang merpati dapat dirampatkan sedemikian sehingga jumlah objek dapat merupakan kelipatan jumlah kotak. Misalnya kalau terdapat 20 sarang merpati dan 41 ekor merpati, maka terdapat satu buah sarang yang berisi lebih dari 2 ekor merpati. Hal ini dinyatakan di dalam teorema berikut:

Teorema 2 (Prinsip Sarang Merpati yang Dirampatkan):

Jika M objek ditempatkan di dalam n buah kotak, maka paling sedikit terdapat satu kotak yang berisi minimal [M/n] objek.

Bukti  :

Pernyataan di atas menyatakan bahwa jika n buah kotak akan diisi dengan M = nk + 1 objek, yang dalam hal ini k adalah bilangan bulat positif maka paling sedikit terdapat 1 kotak yang berisi minimal k + 1 objek.

Contoh 1

Terdapat banyak bola merah, bola putih, dan bola hijau di dalam sebuah kotak . Berapa paling sedikit jumlah bola yang harus diambil dari dalam kotak sehingga 3 pasang bola yang setiap pasangnya berwarna sama terambil ?

Penyelesaian :

Tiga pasang bola yang setiap pasang berwarna sama = jumlah 6 buah bola. N = 3 (jumlah warna). Kita perlu mengambil paling sedikit M buah bola untuk memastikan bahwa [M/3] = 6  (bola mengandung setiap pasang bola yang berwarna sama). M = 3 . 5 + 1 = 16. Jika kita hanya mengambil 15 bola, maka kemungkinan hanya terambil 2 macam bola yang berwarna sama. Jadi jumlah 16 buah bola adalah jumlah minimal yang perlu kita ambil dari kotak untuk memastikan bahwa ada 3 pasang bola yang setiap pasang berwarna sama terambil.

Contoh 2

Dalam matakuliah Matematika Diskrit diberikan tugas kelompok yang akan dibagi menjadi enam kelompok. Jika terdapat 62 mahasiswa yang menempuh mata kuliah tersebut, berapakan jumlah mahasiswa yang menjadi anggota suatu kelompok yang sama?

Penyelesaian :

Kita asumsikan mahasiswa tersebut sebagai anggota dari himpunan daerah asal X dan kelompoknya sebagai anggota daerah kawan Y . Karena |X| = 62, |Y | = 6 dan [62/6] = 11.

Maka dengan menggunakan Prinsip Generalized Pigeonhole, terdapat paling sedikit 11 anggota X yang dipasangkan dengan suatu anggota Y yang sama. Dengan demikian terdapat paling sedikit ada 11 mahasiswa yang menjadi anggota suatu kelompok yang sama.

2.2 Peluang Diskrit

Pada subbab sebelumnya telah disebutkan bahwa kombinatorial didasarkan pada percobaan. Misalnya pada melempar dadu dengan 2 muka, hasil yang muncul untuk satu kali pelemparan ada 6 kemungkinan, yaitu muka 1,2,3,4,5, dan 6; pada kejadian mengambil 5 buah kartu remi dari 52 buah kartu, terdapat C (52,9) = 2.598.960 kemungkinan kombinasi kombinatorial kartu.

Himpunan semua kemungkinan hasil percobaan dinamakan ruang contoh (sample space) dari percobaan yang bersangkutan. Setiap hasil percobaan didalam ruang contoh disebut titik contoh (sample point). Hasil-hasil percobaan tersebut bersifat saling terpisah (mutually exclusive). Dikatakan saling terpisah karena dari seluruh ruang contoh, hanya satu titik contoh yang muncul. Misalnya pada percobaan melempar dadu, hasil percobaan yang muncul hanya salah satu dari 6 muka dadu, tidak mungkin muncul dua muka atau lebih, atau tidak mungkin salah satu dari enam muka dadu tidak ada yang muncul.

Misalkan ruang contoh dilambangkan dengan S dan titik contohnya dilambangkan dengan x_1,x_2,..., maka

S={ x_1,x_2,...,x_i,...}

Menyatakan ruang contoh S yang terdiri dari titik-titik contoh x_1,x_2,...,x_i,..., dan seterusnya. Ruang contoh yang jumlah anggotanya terbatas disebut ruang contoh diskrit (discreate sample space). Peluang terjadinya sebuah titik contoh dinamakan peluang diskrit dan disimbolkan dengan p(x_i).

DEFINISI: Misalkan x_i adalah sebuah titik contoh di dalam ruang contoh S. Peluang bagi x₁ adalah ukuran kemungkinan terjadinya atau munculnya x₁ di antara titik-titik contoh yang lain di dalam S.

Titik contoh yang mempunyai peluang lebih besar berarti kemungkinan terjadinya lebih besar pula, sedangkan titik contoh yang peluangnya lebih kecil berarti kemungkinan terjadinya juga lebih kecil.

Peluang diskrit mempunyai sifat sebagai berikut:

1.      0≤p(x_i)≤1, yaitu nilai peluang adalah bilangan tidak negatif dan selalu lebih kecil atau sama dengan 1.

_|s|

2.      ∑ p(x_i) =1, yaitu jumlah peluang semua titik contoh didalam ruang contoh S adalah 1
ⁱ⁼¹

Contoh 1

Pada pelemparan dadu, S = {1,2,3,4,5,6}. Peluang munculnya setiap angka adalah sama yaitu 1/6

Contoh 2

Uang logam mempunyai 2 buah muka yaitu gambar(g) dan angka(a). Jika sebuah koin uang logam dilempar, maka peluang munculnya muka gambar = ½ , begitu juga peluang munculnya muka angka. Jika 2 buah koin uang logam dilempar, maka ruang contohnya adalah S={aa, gg, ag, ga}. Peluang setiap titik contoh adalah

P(aa) = p(gg) = p(ag) = p(ga) = ¼

Contoh 3

Sebuah koin yang mempunyai sisi A dan sisi B dilempar ke atas sebanyak empat kali. Berapakah peluang munculnya sisi A sebanyak tiga kali?

Penyelesaian:

Jumlah kemungkinan munculnya sisi A sebanyak tiga kali adalah C(4,3) = 4. Jumlah seluruh hasil percobaan adalah 2x2x2x2 = 16, sehingga peluang munculnya sisi A sebanyak tiga kali adalah 4/16 = ¼.

Kejadian (event) -disimbolkan dengan E- adalah himpunan bagian dari ruang contoh. Misalnya pada percobaan melempar dadu, kejadian munculnya angka ganjil adalah E = {1,3,5}, kejadian munculnya angka 1 adalah E = {1}. Kejadian yang hanya mengandung satu titik contoh disebut kejadian sederhana (simple event) dan kejadian yang mengandung lebih dari satu titik contoh disebut kejadian majemuk(compound event).

Suatu kejadian dikatakan terjadi jika salah satu dari titik contoh di dalam kejadian tersebut terjadi. Peluang terjadinya suatu kejadian didefinisikan sebagai berikut:

DEFINISI: Peluang kejadian E di dalam ruang contoh S adalah p(E) = |E|/|S|

Peluang kejadian E juga dapat diartikan sebagai jumlah peluang semua titik contoh di dalam E. Jadi, kita dapat menuliskan bahwa

P(E)=

Contoh 3
Pada percobaan melempar dadu, S= {1,2,3,4,5,6}. Kejadian munculnya angka ganjil adalah E = {1,3,5}. Di sini |S| = 6 dan |E| = 3. Kejadian munculnya angka ganjil adalah 3/6 = ½. Kita juga dapat menghitung peluang muncunya angka ganjil dengan melihat bahwa peluang setiap titik contoh didalam E adalah 1/6, sehingga p(E) = 1/6 + 1/6+1/6= 3/6= ½

Contoh 4

Dua buah dadu dilemparkan. Berapa peluang munculnya angka-angka dadu yang jumlahnya sama dengan 8?
penyelesaian:
Jumlah hasil percobaan yang muncul adalah (gunakan kaidah perkalian) 6x6=36. Ruang contohnya adalah S ={(1,1),(1,2),...,(1,6),(2,1),(2,2),...,(2,6),...,(6,1),(6,2),...,(6,6)}, semuanya ada 36 elemen. Kejadian munculnya jumlah angka sama dengan 8 adalah E = {(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}. Peluang munculnya jumlah angka sama dengan 8 adalah 5/36.

Contoh 5
Kartu remi (poker) seluruhnya 52 buah kartu. Keseluruhan kartu ini terdiri dari 13 jenis kartu setiap jenis terdiri dari 4 buah kartu. Tiga belas jenis kartu tersebut adalah : 2,3,4,5,6,7,8,9,10, joker, ratu,raja,dan as. Setiap pemain remi mendapatkan 5 buah kartu. Berapa peluang dari 5 kartu tersebut mengandung 4 kartu dari jenis yang sama?

Penyelesaian
Jumlah cara mengambil 5 kartu sembarang dari 52 buah kartu =C(52,2) (ini adalah jumlah titik  contoh). Jumlah cara mengambil satu jenis kartu dari 13 jenis yang ada = C(13,1). Jumlah cara mengambil 4 kartu dari 4 kartu yang sejenis = C(48,1). Sehingga,peluang dari 5 kartu tersebut mengandung 4 kartu sejenis

Contoh 6
(berkaitan dengan contoh 5) berapa peluang dari 5 kartu tersebut mengandung 4 kartu as?

Penyelesaian
Pada soal ini, jenis kartu sudah ditentukan, yaitu kartu as, maka hanya ada satu cara mengambil jenis kartu as.
Jumlah cara mengambil 4 kartu dari 4 kartu as = C(4,4)
Jumlah cara mengambil satu kartu lagi dari 48 kartu yang tersisa = C(48,1)
Jumlah cara mengambil 5 kartu sembarang dari 52 buah kartu = C(52,2)
Peluang dari 5 kartu tersebut mengandung 4 kartu as =

Contoh 7

Sepuluh buah buku disusun diatas sebuah rak. Kesepuluh buku itu beragam topiknya, ada buku tentang fisika, buku kimia,buku biologi,buku matematika, dan buku sosiologi. Berapa peluang bahwa dari 10 buku itu tepat ada 2 buah buku untuk setiap topik?

Penyelesaian:
Misalkan susunan 10 buah buku tersebut seperti dibawah ini:

—  —  —  —  —  —  —  —  — —

^{1         2        3       4        5      6       7       8      9     10}

Buku ke-1 ada 5 kemungkinan topik, dan seterusnya buku ke-10 ada 5 kemungkinan topik. Total semua kemungkinan topik buku adalah 5^10. Ini adalah jumlah titik contoh di dalam ruang contoh.

Banyak titik contoh dengan 2 buku setiap topik adalah  sehingga peluang dari 10 buku itu tepat ada 2 buah buku setiap topik

=:=0,0174

Konsep-konsep pada teori himpunan dapat diterapkan pada peluang diskrit. Misalkan diketahui dua buah himpunan A dan B adalah dua buah kejadian di dalam ruang contoh S:

1.      Kejadian bahwa A dan B terjadi sekaligus berarti sama dengan munculnya salah satu titik contoh didalam himpunan A  B. Peluang terjadinya kejadian A dan B adalah

(6.8)

2.      Kejadian bahwa A atau B keduanya terjadi berarti sama dengan munculnya salah satu titik contoh di dalam A Peluang terjadinya kejadian A atau B atau keduanya adalah

(6.9)

3.      Kejadian bahwa A terjadi tetapi B tidak berarti sama dengan munculnya salah satu titik contoh di dalam A   B. Peluang terjadinya kejadian A tetapi B tidak adalah

(6.10)

4.      Kejadian bahwa salah satu dari A dan B terjadi namun bukan keduanya berarti sama dengan munculnya salah satu titik contoh di dalam A⊕B. Peluang terjadinya salah satu dari A dan B namun bukan keduanya adalah

(6.11)

5.      (Komplemen) Peluang bahwa kejadian A̅ , komplemen dari kejadian A, terjadi adalah

p(A̅ ) = 1

(6.12)

Persamaan (6.12) dapat dibuktikan sebagai berikut:

p(A̅ )

Dengan menggunakan prinsip inklusi-eksklusi kita juga dapat memperlihatkan bahwa

Bukti:

Prinsip inklusi-eksklusi untuk operasi gabungan dua buah himpunan menyatakan bahwa

⃒ ⃒ = +⃒ ⃒

Dalam hal ini,

=

= 

=  

Contoh 8

Dari 100 orang mahasiswa ITB yang hadir dalam sebuah diskusi, 80 orang laki-laki dan 20 orang perempuan. Di antara mahasiswa pria terdapat 35 orang yang memakai jaket almamater (pja) dan 45 orang tidak memakai jaket tersebut (ptja), dan di antara mahasiswa wanita terdapat 8 orang yang memakai jaket almamater (wja) dan 12 orang yang tidak memakainya (wtja). Kita ingin memilih salah seorang dari mahasiswa tersebut sebagai notulen. Maka ruang contohnya adalah S={pja, ptja, wja, wtja}. Peluang setiap mahasiswa dari kategori terpilih sebagai notulen adalah

p(pja) = 35/100 = 0,35;  p(ptja) = 45/100 = 0,45;

p(wja) = 8/100 = 0,08; p(wtja) = 12/100 = 0,12;

Misalkan A adalah kejadian terpilihnya mahasiswa pria, dan B adalah kejadian terpilihnya mahasiswa(i) yang memakai jaket almamater, maka

p(A) = 0,35 + 0,45 = 0,75

p(B) = 0,35 + 0,08 = 0,43

 menyatakan kejadian terpilihnya mahasiswa pria yang memakai jaket almamater :

 = 0,35

 menyatakan kejadian terpilihnya mahasiswa pria atau mahasiswa(i) yang memakai jaket almamater:

 menyatakan kejadian terpilihnya mahasiswa pria yang tidak memakai jaket almamater atau mahasiswi yang memakai jaket:

p( = 0,45 + 0,12 = 0,57

 menyatakan kejadian terpilihnya mahasiswa pria tetapi tidak memakai jaket:

p() = 0,45

Contoh 9

Di antara 100 bilangan bulat positif pertama, berapa peluang memilih secara acak sebuah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5?

Penyelesaian:

Misalkan,

A menyatakan kejadian bilangan bulat yang dipilih habis dibagi 3,

B menyatakan kejadian bilangan bulat yang dipilih habis dibagi 5,

 menyatakan kejadian bilangan bulat yang dipilih habis dibagi 3 dan 5 (yaitu bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK dari 3 dan 5, yaitu 15), maka  menyatakan kejadian bilangan bulat yang dipilih habis dibagi 3 atau 5.

Terlebih dahulu kita harus menghitung :

 =[100/3]=33,  =[100/15]=6
untuk mendapatkan

 = 33/100 + 20/100 +20/100 – 6/100 = 0,47

Jadi, peluang bilangan yang dipilih habis dibagi 3 atau 5 adalah 0,47

Contoh 10

Dari 8 bit (atau 1 byte) yang dibangkitkan secara acak, berapa peluang bahwa byte tersebut tidak dimulai dengan ‘11’ ?

Penyelesaian :
Misalkan  A menyatakan bahwa byte yang dibangkitkan dimulai dengan ‘11’. Maka, A menyatakan kejadian bahwa byte yang dibangkitkan tidak dimulai dengan ‘11’. Jumlah byte yang dimulai dengan ‘11’, sehingga kita cukup mengisi 6 posisi bit lainnya. Jadi, = 64. Ruang contoh S adalah himpunan semua bit yang panjangnya 8, di sini  = 2⁸ = 256. Maka, peluang byte yang dibangkitkan tidak dimulai dengan “11” adalah

p(A̅ ) = 1 =  = 1

Contoh 11

Dari 8 bit (atau 1 byte) yang dibangkitkan secara acak, berapa peluang bahwa  bit-bit ini mengandung paling sedikitnya satu buah bit 0?
penyelesaian:

Misalkan A menyatakan kejadian bahwa byte yang dibangkitkan mengandung sedikitnya sebuah bit 0. Maka, A menyatakan kejadian bahwa byte yang dibangkitkan semuanya mengandung bit 1. Ruang contoh S adalah himpunan semuanya mengandung bit 1, sehingga p(A) = 1/256. Maka, peluang byte yang dibangkitkan mengandung sedikitnya satu buah bit 0 adalah.

p(A̅ ) = 1 =

BAB III

PENUTUP

3.1    Kesimpulan

Prinsip Sarang Merpati terbagi menjadi 3 bentuk. Prinsip pigeonhole bentuk pertama menyatakan jika (n + 1) atau lebih objek ditempatkan di dalam n buah kotak, maka paling sedikit terdapat satu kotak yang berisi dua atau lebih objek. Bentuk kedua menyatakan jika f merupakan sebuah fungsi dari suatu himpunan terhingga X ke suatu himpunan terhingga Y dan |X| > |Y |, maka f( ) = f( ) untuk beberapa ,    X, dimana     . Bentuk ketiga menyatakan jika M objek ditempatkan di dalam n buah kotak, maka paling sedikit terdapat satu kotak yang berisi minimal [M/n] objek. Prinsip pigeonhole  mempunyai banyak pengaplikasian atau penerapan, diantaranya dalam sains komputer,  permasalahan relasi, pembagian,  permasalahan numerikal, permasalahan geometri umum,  trik kartu kombinatorik, fungsi kuadrat, dan teori Ramsey.

Teori peluang banyak menggunakan konsep-konsep di dalam kombinatorial. Sayangnya, kedua bidang ini lahir dari tempat yang kurang  patut, yaitu dari arena judi (gambling games). Peluang adalah derajat/tingkat kepastian atau keyakinan dari terjadinya suatu peristiwa dalam suatu percobaan tertentu dengan kisaran nilai peluang 0  ≤  p( )  ≤  1. Ada dua pendekatan dalam menghitung peluang yaitu pendekatan yang bersifat objektif (pendekatan klasik dan frekuensi relatif) dan subjektif. Konsep-konsep pada teori himpunan dapat diterapkan pada peluang diskrit dengan rumus : P (A ∩ B) =   ); P (A ∪ B) =   ); P (A - B) =   ); P (A ⊕ B) =   ); P( ) = 1 P(A).

3.3    Saran

Sebaiknya kita lebih mendalami dan memahami mengenai prinsip sarang  merpati dan peluang diskrit. Dengan mempelajari prinsip sarang merpati kita dapat menyelesaikan permasalahan relasi, geometri, trik kartu kombinatorik, dan lain-lain dengan lebih mudah. Dan dengan mempelajari peluang, kita dapat membuat dan mengetahui hasil dari suatu kejadian.

DAFTAR PUSTAKA

Munir, Rinaldi. 2014. MATEMATIKA DISKRIT. Bandung : Informatika Bandung.